Question

已知函數(shù)f(x)=

1-x

ax

+lnx．
（1）當a=1時，求f(x)在[

1

2

，2]上最大及最小值；
（2）當1＜x＜2時，求證（x+1）lnx＞2（x-1）；
（3）若函數(shù)g(x)=f(x)-

x

a

在區(qū)間（1，2）上不單調

 

，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入原函數(shù)，求出其導函數(shù)，找到其在所給區(qū)間上的單調性求出極值，再與端點值比較即可求f(x)在[

1

2

，2]上最大及最小值；
（2）構造新函數(shù)F（x）=（x+1）ln-2（x-1），求出其導函數(shù)．利用（1）的結論求出新函數(shù)的極值（或最值）即可求證（x+1）lnx＞2（x-1）；
（3）先求函數(shù)的導函數(shù)，把在區(qū)間（1，2）上不單調轉化為導函數(shù)在區(qū)間（1，2）上有根且無重根即可求a的取值范圍．

解答：解：（I）當a=1時，f(x)=

1

x

+lnx-1，f′(x)=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

(x∈[

1

2

，2])
令f'（x）=0得x=1.f′(x)＜0得

1

2

≤x＜1，f'（x）＞0，得1＜x≤2，
∴f(x)在[

1

2

，1]上單調遞減，在[1，2]上單調遞增
故f_min（x）=f（1）=0，最大值為f(

1

2

)與f(2)中的較大者（3分）

∵f( 1 2 )=1-ln2，f(2)=ln2- 1 2 . ∴f(2)-f( 1 2 )=2ln2- 3 2 = 4ln2-3 4 = ln16-lne3 2 .

易知e³＞16，∴f(2)＜f(

1

2

)
故f_max（x）=1-ln2（5分）

（II）令F（x）=（x+1）ln-2（x-1）∴f′(x)=lnx+

1

x

-1．
由（I）知F'（x）在（1，2）上單調遞增．∴F'（x）＞F'（1）=0．（7分）
故F（x）在（1，2）上單調遞增，∴F（x）＞F（1）=0．
即（x+1）lnx＞2（x-1）（9分）

（III）g(x)=f(x)-

x

a

=

1-x

ax

+lnx-

x

a

，
g′(x)=-

1

ax2

+

1

x

-

1

a

=-

x2-ax+1

ax2

∵g（x）在（1，2）上不單調∴x²-ax+1=0在（1，2）上有根且無重根（10分）
即方程a=x+

1

x

，在（1，2）上有根，且無重根．
∴2＜a＜

5

2

．（12分）

點評：本題的第一問考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．