Question

已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(x)＝x²＋2x，

(1)求函數(shù)g(x)的解析式；

(2)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；

(3)若h(x)＝g(x)－λf(x)＋1在［－1，1］上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

解析：此題考查綜合應(yīng)用函數(shù)的奇偶性和增減性解決解析式和最值問題.

解：(1)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象上任一點(diǎn)Q(x₀,y₀)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P(x,y),?

則即

∵點(diǎn)Q(x₀,y₀)在函數(shù)y=f(x)的圖象上,?

∴-y=x²-2x,即y=-x²+2x.?

故g(x)＝-x²+2x.?

(2)由g(x)≥f(x)-|x-1|,可得2x²-|x-1|≤0.?

當(dāng)x≥1時(shí)，2x²-x+1≤0.?

此時(shí)不等式無解.?

當(dāng)x＜1時(shí)，2x²-x+1≤0.?

∴-1≤x≤.?

因此，原不等式的解集為［-1, ］.?

(3)h(x)=-(1+λ)x²+2(1-λ)x+1.?

①當(dāng)λ=-1時(shí)，h(x)＝4x+1在［-1,1］上是增函數(shù)，∴λ=-1.?

②當(dāng)λ≠-1時(shí)，對(duì)稱軸的方程為x=.

(ⅰ)當(dāng)λ＜-1時(shí)，≤-1，解得λ＜-1.

(ⅱ)當(dāng)λ＞-1時(shí)，≥1時(shí)，解得-1＜λ≤0.?

綜上，λ≤0.