Question

11．設(shè)點(diǎn)P是雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$上一點(diǎn)，焦點(diǎn)F（2，0），點(diǎn)A（3，2），使4|PA|+2|PF|有最小值時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是$（\frac{{\sqrt{21}}}{3}，2）$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意算出雙曲線的離心率e=2，右準(zhǔn)線方程為x=$\frac{1}{2}$．連結(jié)PF，過P作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，由雙曲線第二定義得|PM|=$\frac{1}{2}$|PF|，從而得出|PA|+$\frac{1}{2}$|PF|=|PA|+|PM|，利用平面幾何知識可得當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PM|=|AM|達(dá)到最小值．由此利用雙曲線的方程加以計(jì)算，可得滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：∵雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$中，a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴c=2，
可得雙曲線的離心率e=2，右準(zhǔn)線方程為x=$\frac{1}{2}$，
設(shè)右準(zhǔn)線為l，過P作PM⊥l于M點(diǎn)，連結(jié)PF，
由雙曲線的第二定義，可得|PM|=$\frac{1}{2}$|PF|．
∴|PA|+$\frac{1}{2}$|PF|=|PA|+|PM|，
運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，可得當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PM|=|AM|達(dá)到最小值．
此時(shí)經(jīng)過P、A、M三點(diǎn)的直線與x軸平行，
設(shè)P（m，2），代入雙曲線方程得m=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，得點(diǎn)P（$\frac{\sqrt{21}}{3}$，2）．
∴滿足使4|PA|+2|PF|=4（|PA|+$\frac{1}{2}$|PF|）有最小值的點(diǎn)P坐標(biāo)為$（\frac{{\sqrt{21}}}{3}，2）$．
故答案為：$（\frac{{\sqrt{21}}}{3}，2）$．

點(diǎn)評 本題給出定點(diǎn)A與雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)P，求4|PA|+2|PF|有最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．著重考查了雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．