Question

選修4～4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

x=1+tcosα y=2+tsinα

（t為參數(shù)）在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位．且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=6sinθ．
（I）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B．若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），求|PA|+|PB|的最小值．

Answer 1

分析：（I）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可將圓C極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（II）先根據(jù)（I）得出圓C的普通方程，再根據(jù)直線與交與交于A，B兩點(diǎn)，可以把直線與曲線聯(lián)立方程，用根與系數(shù)關(guān)系結(jié)合直線參數(shù)方程的幾何意義，表示出|PA|+|PB|，最后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得到求解最小值．

解答：解：（Ⅰ）由ρ=6sinθ得ρ²=6ρsinθ，化為直角坐標(biāo)方程為x²+y²=6y，即x²+（y-3）²=9．
（Ⅱ）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得t²+2（cosα-sinα）t-7=0．
由△=（2cosα-2sinα）²+4×7＞0，故可設(shè)t₁，t₂是上述方程的兩根，
所以

t1+t2=-2(cosα-sinα) t1•t2=-7

又直線l過點(diǎn)（1，2），
故結(jié)合t的幾何意義得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

4(cosα-sinα)2+28

=

32-4sin2α

≥

32-4

=2

7

．
所以|PA|+|PB|的最小值為2

7

．

點(diǎn)評：此題主要考查參數(shù)方程的優(yōu)越性，及直線與曲線相交的問題，在此類問題中一般可用聯(lián)立方程式后用韋達(dá)定理求解即可，屬于綜合性試題有一定的難度．