Question

在四棱錐中，，，平面，為  的中點，．

(1)求四棱錐的體積；

(2)若為的中點，求證：平面平面；

(3)求二面角的大�。�

 

Answer 1

【答案】

1）解：在中，，，∴，……1分

在中，，，∴，…………2分

∴…………3分

則…………………………………………4分

（2）解法一∵平面，∴…………………………5分

又， ，  …………………………6分

∴平面………………………7分    

∵、分別為、中點，

∴   ∴平面………………………8分

∵平面，∴平面平面……9分

（3）解法一：取的中點，連結，則，

∴平面，過作于，連接，…10分

∵AC，，且，∴…11分

則為二面角的平面角。  ……12分

∵為的中點，，，

∴，又，  ……13分

∴，故

即二面角的大小為30⁰……………14分

（2）解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz    ………………5分

A（0,0,0）   B（1,0,0）      

       ……6分

，， …7分

設平面AEF的一個法向量為

由  取，得x=1，即   …8分

又平面PAC的一個法向量為  ……9分

    ∴平面平面   ……10分

（3）解法二：易知平面ACD的一個法向量為  ……11分

設平面AEF的一個法向量為

由，取，得,…12分

  ……13分

∴結合圖形知二面角的大小為30⁰……………14分

【解析】本題考查用分割法求出棱錐的底面積，直線與平面垂直的判定以及求二面角的大小的方法．

（Ⅰ）把四邊形面積分成2個直角三角形面積之和，代入棱錐體積公式進行計算．

（Ⅱ）先證 CD⊥平面PAC，由三角形中位線的性質得EF∥CD，得到EF⊥平面PAC，從而證得平面PAC⊥平面AEF．

（Ⅲ）由三垂線定理作出∠EQM為二面角E-AC-D的平面角，并證明之，解直角三角形EQM，求出∠EQM的大�。�