Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-1+1（a＞0，a≠1）過定點(diǎn)A．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）＞2．

Answer 1

分析：（1）要求一個底數(shù)不確定的指數(shù)函數(shù)的圖象所過的定點(diǎn)，關(guān)鍵是根據(jù)a⁰=1，即令指數(shù)部分為0是解答本題的關(guān)鍵．
（2）由（1）的結(jié)論，我們可將不等式f（x）＞2化為不等式f（x）＞f（1），我們分a＞1時和0＜a＜1時兩種情況進(jìn)而分類討論，最后進(jìn)而綜合討論結(jié)果，即可得到答案．

解答：解：（1）當(dāng)x-1=0時，x=1時
f（x）=a^x-1+1=a⁰+1=2
故函數(shù)f（x）=a^x-1+1（a＞0，a≠1）過定點(diǎn)（1，2）
（2）當(dāng)a＞1時，函數(shù)f（x）=a^x-1+1為增函數(shù)
則不等式f（x）＞2可化為f（x）＞f（1）
解得x＞1
則不等式f（x）＞2的解集為（1，+∞）
當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）=a^x-1+1為減函數(shù)
則不等式f（x）＞2可化為f（x）＜f（1）
解得x＜1
則不等式f（x）＞2的解集為（-∞，1）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，其中（1）的關(guān)鍵是指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)中a⁰=1，（2）的關(guān)鍵是對a值進(jìn)行分類討論．