已知Sn是數(shù)列{
1
n
}的前n項和,
(1)分別計算S2-S1,S4-S2,S8-S4的值;
(2)證明:當(dāng)n≥1時,S2^-S2n-1
1
2
,并指出等號成立條件;
(3)利用(2)的結(jié)論,找出一個適當(dāng)?shù)腡∈N,使得ST>2010;
(4)是否存在關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)f(n),使得S1+S2+…+Sn-1=f(n)(Sn-1)對于大于1的正整數(shù)n都成立?證明你的結(jié)論.
分析:(1)較為簡單,代入可計算;
(2)由(1)可猜想(2)的結(jié)論也是成立的,證明時要適當(dāng)?shù)姆趴s每一項(共2n-1項)都縮小為
1
2n
,
(3)的解答可由(2)的結(jié)論想到:新數(shù)列S2-S1,S4-S2,S8-S4…中每一項的值都大于等于
1
2
,那么4018項的和為2009,于是對于數(shù)列{an}中連同a1就有24019項,即a1+S24019-S24018>1+2009=2010.
(4)可利用數(shù)學(xué)歸納法,思路是利用n=1,2時的結(jié)論猜想命題成立,然后用歸納法證明即可,關(guān)鍵是如何利用好歸納假設(shè).
解答:解:
(1)S2-S1=
1
2
,
S4-S2=
1
3
+
1
4
=
7
12

S8-S4=
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
=
168+140+120+105
840
=
533
840
.(2分)
(2)當(dāng)n≥1時,S2n-S2n-1=
1
2n-1+1
+
1
2n-1+2
+…+
1
2n
(共2n-1項)
1
2n
×2n-1=
1
2
,當(dāng)且僅當(dāng)n=1時,等號成立.(4分)
(3)由于S1=1,當(dāng)n≥1時,S2^-S2n-1
1
2
,
于是,要使得ST>2010,只需
1
2
+
1
3
++
1
n
>2009.
1
2
+
1
3
++
1
n
按照第一組21項,第二組22項,,第n組2n項的方式分組(6分)
由(2)可知,每一組的和不小于
1
2
,且只有n=1時等于
1
2
,
將這樣的分組連續(xù)取2×2009組,加上a1,共有24019項,
這24019項之和一定大于1+2009=2010,
故只需T=24019,就能使得ST>2010;(8分)
(注:只要取出的T不小于24015,并說出相應(yīng)理由,都給滿分)
(4)設(shè)這樣的f(n)存在,n=2時,
有1=f(2)(1+
1
2
-1)
?f(2)=2,n=3時,有
5
2
=f(3)(1+
1
2
+
1
3
-1)
?f(3)=3,
猜測f(n)=n(n≥2).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①n=2,3時,上面已證,猜測正確;
②設(shè)n=k(k≥2)時,f(n)=k即S1+S2++Sn-1=k(Sk-1)成立
則S1+S2++Sn-1+Sk=k(Sk-1)+Sk
=(k+1)Sk-k
=(k+1)(Sk+
1
k+1
-1)

=(k+1)(Sk+1-1).
即n=(k+1)時,猜測也正確.
綜上所述,存在f(n)=n,使得S1+S2++Sn-1=f(n)(Sn-1)對于大于1的正整數(shù)都成立(13分)
點(diǎn)評:本題考查了數(shù)列前n項和的概念,不等式恒成立問題,數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,合理猜想與邏輯推理的概念.對不等式的考查有一定的難度,綜合性較強(qiáng),需要同學(xué)有深厚的功底才能勝任本題的解答,對數(shù)學(xué)歸納法的考查較深.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知Sn是數(shù)列{
1
n
}
的前n項和;
(1)分別計算S2-S1,S4-S2,S8-S4的值;
(2)證明:當(dāng)n≥1時,S2n-S2n-1
1
2
,并指出等號成立條件;
(3)利用(2)的結(jié)論,找出一個適當(dāng)?shù)腡∈N,使得Sr>2008.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)滿足f(x)+f(1-x)=1.
(1)求f(
1
2
)和f(
1
n
)+f(
n-1
n
)(n∈N*)
的值;
(2)若數(shù)列{an}滿足an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)
(n∈N*),求{an}的通項公式;
(3)若數(shù)列{bn}滿足bn=2n+1•an,Sn是數(shù)列{bn}前n項的和,是否存在正實(shí)數(shù)k,使不等式knSn>4bn對于一切的n∈N*恒成立?若存在指出k的取值范圍,并證明;若不存在說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和,已知a1=1,an=-Sn•Sn-1(n≥2),則Sn=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
4x
4x+2

(Ⅰ)求f(x)+f(1-x),x∈R的值;
(Ⅱ)若數(shù)列{an} 滿足an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)(n∈N*),求數(shù)列{an} 的通項公式;
(Ⅲ)若數(shù)列 {bn} 滿足bn=2n+1•an,Sn 是數(shù)列 {bn} 的前n項和,是否存在正實(shí)數(shù)k,使不等式knSn>4bn對于一切的n∈N*恒成立?若存在,請求出k的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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