Question

設(shè)橢圓C：過點(diǎn)（0，4），離心率為
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求過點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

解：（Ⅰ）根據(jù)題意，橢圓過點(diǎn)（0，4），
將（0，4）代入C的方程得，即b=4
又得=；
即，∴a=5
∴C的方程為

（Ⅱ）過點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線方程為，
設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程代入C的方程，得，
即x²-3x-8=0，解得，，
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，
，
即中點(diǎn)為．
分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，將（0，4）代入C的方程得b的值，進(jìn)而由橢圓的離心率為，結(jié)合橢圓的性質(zhì)，可得=；解可得a的值，將a、b的值代入方程，可得橢圓的方程．
（Ⅱ）根據(jù)題意，可得直線的方程，設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓的方程，化簡可得方程x²-3x-8=0，解可得x₁與x₂的值，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將其代入直線方程，可得中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)以及橢圓與直線相交的有關(guān)性質(zhì)，涉及直線與橢圓問題，一般要聯(lián)立兩者的方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，由韋達(dá)定理分析解決．