Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4sinθ•x-1，x∈[-1，

3

]，其中θ∈[0，2π]
（1）當(dāng)θ=

π

6

時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大最小值；
（2）求θ的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-1，

3

]上存在反函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,反函數(shù)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把θ=

π

6

代入可得函數(shù)解析式，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得；
（2）可得函數(shù)的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x=2sinθ，要滿足題意須使函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)，可得 2sinθ≤-1，或2sinθ≥

3

，解之可得．

解答： 解：（1）當(dāng)θ=

π

6

時(shí)，f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2，
函數(shù)的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x=1，
故當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈[1，

3

]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值f（1）=-2，
當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取最大值f（-1）=2；
（2）可得f（x）=（x-2sinθ）²-1-4sin²θ，
函數(shù)的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x=2sinθ，
要使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，

3

]上存在反函數(shù)，
必須使函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)，故2sinθ≤-1，或2sinθ≥

3

，
可得sinθ≤-

1

2

，或sinθ≥

3

2

，
解之可得

7π

6

≤θ≤

11π

6

，或

π

3

≤θ≤

2π

3

，
故θ的取值范圍為：

7π

6

≤θ≤

11π

6

，或

π

3

≤θ≤

2π

3

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)區(qū)間的最值，涉及三角函數(shù)和反函數(shù)的應(yīng)用，屬中檔題．