Question

【題目】在正四面體ABCD中，點(diǎn)E，F分別是AB，BC的中點(diǎn)，則下列命題正確的序號是______

①異面直線AB與CD所成角為90°；

②直線AB與平面BCD所成角為60°；

③直線EF∥平面ACD

④平面AFD⊥平面BCD．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

在①中,由AB⊥平面CDE，知異面直線AB與CD所成角為90°；在②中,直線AB與平面BCD所成角為；在③中由EF∥AC,知直線EF∥平面ACD；在④中,由BC⊥平面ADF,知平面AFD⊥平面BCD,從而得到結(jié)果

解：正四面體ABCD中，點(diǎn)E，F分別是AB，BC的中點(diǎn)，

在①中,∵正四面體ABCD中,點(diǎn)E、F分別是AB,BC的中點(diǎn),

∴CE⊥AB,DE⊥AB,

又,∴AB⊥平面CDE,

∵CD平面CDE,

∴,即異面直線AB與CD所成角為90°,故①正確；

在②中,過A作AO⊥平面BCD,交DF=O,連結(jié)BO,

則∠ABO是直線AB與平面BCD所成角,

設(shè)正四面體ABCD的棱長為2,

則DF=,BO=,

cos==

∴直線AB與平面BCD所成角為,故②錯(cuò)誤；

在③中,∵點(diǎn)E、F分別是AB,BC的中點(diǎn),

∴EF∥AC,

∵EF平面ACD,AC平面ACD,

∴直線EF∥平面ACD,故③正確；

在④中,由AF⊥BC,DF⊥BC,

又,∴BC⊥平面ADF,

∵BC平面BCD,∴平面AFD⊥平面BCD,故④正確

故答案為：①③④