Question

如果(x+x

x

)n的展開(kāi)式中所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和等于512，則展開(kāi)式的中間項(xiàng)是（　�。�

• A、C₁₀⁶x⁸
• B、

  C

  5 10

  x7

  x

• C、C₈⁴x⁶
• D、

  C

  6 11

  x8

  x

Answer 1

分析：根據(jù)二項(xiàng)式定理所有奇次項(xiàng)的系數(shù)c_n⁰+c_n²+…+c_n^n-1=

1

2

（c_n⁰+c_n¹+c_n²+…+c_nⁿ）=

1

2

×2ⁿ=2^n-1=512得到n的值，然后利用二項(xiàng)式定理找到展開(kāi)式的中間項(xiàng)即可．

解答：解：根據(jù)二項(xiàng)式定理所有奇次項(xiàng)的系數(shù)c_n⁰+c_n²+…+c_n^n-1=

1

2

（c_n⁰+c_n¹+c_n²+…+c_nⁿ）
=

1

2

×2ⁿ=2^n-1=512得：2^n-1=512，∴n=10，即(x+x

x

)10，所以第六項(xiàng)為中間項(xiàng)，
則根據(jù)二項(xiàng)式定理得：中間項(xiàng)為T6=

C

5 10

x5(

x

)5=

C

5 10

x7

x

.
故選B

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用二項(xiàng)式定理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．理解展開(kāi)式中所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和等于所有偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和且兩者相加等于2ⁿ．