Question

已知橢圓的方程為,其中.
（1）求橢圓形狀最圓時(shí)的方程；
（2）若橢圓最圓時(shí)任意兩條互相垂直的切線相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在一個(gè)定圓上.

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)滿足的條件得:，且，則知橢圓的長軸在y軸上，而橢圓形狀最圓時(shí)e最小，則先得到e的表達(dá)式，再根據(jù)三角函數(shù)的有界性求表達(dá)式的最小值，得到取得最小值時(shí)的的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，設(shè)出交點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)直線的斜率是否存在，分2種情況討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于k的方程，由于兩切線垂直，則，利用上述方程的兩根之積得到的值，整理出方程形式，再驗(yàn)證當(dāng)斜率不存在時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)，得到最終結(jié)論.
試題解析：（1）根據(jù)已知條件有，且，故橢圓的長軸在軸上.
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
由于橢圓的離心率最小時(shí)其形狀最圓，故最圓的橢圓方程為.    5分
（2）設(shè)交點(diǎn)，過交點(diǎn)的直線與橢圓相切.
(1)當(dāng)斜率不存在或等于零時(shí)，易得點(diǎn)的坐標(biāo)為.    6分
(2)當(dāng)斜率存在且非零時(shí)，則設(shè)斜率為，則直線：，
與橢圓方程聯(lián)立消，得：.
由相切，，
化簡(jiǎn)整理得.①
因過橢圓外一點(diǎn)有兩條直線與橢圓相切，由已知兩切線垂直，故，而為方程①的兩根，
故，整理得：.
又也滿足上式，
故點(diǎn)的軌跡方程為，即點(diǎn)在定圓上.   13分