Question

如圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別是BB₁、AB、BC的中點(diǎn)．
（1）證明：D₁F⊥EG；
（2）證明：D₁F⊥平面AEG；
（3）求cos＜

AE

，

D1B

＞．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DA₁所在的直線分別為x、y、z軸，不妨取正方體AC₁棱長(zhǎng)為2，從而寫出

AE

=(0，2，1)，

EG

=(-1，0，-1)，計(jì)算

D1F

•

AE

=0，從而得到D₁F⊥AE；
（2）先寫出

AE

=(0，2，1)，計(jì)算

D1F

•

AE

=0，從而得到結(jié)果；
（3）直接根據(jù)向量的夾角公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答： 解：以D為原點(diǎn)，DA、DC、DA₁所在的直線分別為x、y、z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，（如下圖示）
不妨取正方體AC₁棱長(zhǎng)為2，
則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），

D₁（0，0，2），E（2，2，1），F(xiàn)（2，1，0），G（1，2，0）．（4分）
（1）

D1F

=(2，1，-2)，

EG

=(-1，0，-1)，
∴

D1F

•

EG

=0，可見D₁F⊥EG．…（7分）
（2）

AE

=(0，2，1)，∴

D1F

•

AE

=0，∴D₁F⊥AE
∵EG∩AE=E，∴D₁F⊥平面AEG．…（11分）
（3）由

AE

=(0，2，1)，

D1B

=(2，2，-2)，
∴cos＜

AE

，

D1B

＞=

AE • D1B

| AE |•| D1B |

=

0+4-2

5 •2 3

=

15

15

．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了空間中直線與直線垂直、直線與平面垂直、空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)成和建立、空間向量的基本運(yùn)算等知識(shí)，屬于中檔題．