求證：函數(shù)y=Atan（ωx+φ）（A≠0,ω≠0）為奇函數(shù)的充要條件是φ=kπ（k∈Z）.

思路分析：充要條件的證明要從兩方面證：充分性和必要性.在證明時(shí)要分清命題的題設(shè)與結(jié)論，明確充分性與必要性.

證明：充分性：

∵φ=kπ,∴y=Atan（ωx+φ）=Atan（ωx+kπ）=Atanωx,

又∵f（－x）=Atan（－ωx）=－Atanωx=－f（x），

∴y=tanωx是奇函數(shù).

必要性：

∵函數(shù)f（x）=Atan（ωx+φ）是奇函數(shù)，∴f（－x）=－f（x）,

即Atan（－ωx+φ）=－Atan（ωx+φ）,A≠0,ω≠0.

原式可化為tan（ωx－φ）=tan（ωx+φ）,

∴.

∴tanωx－tan2ωxtanφ－tanφ+tanωxtan2φ

=tanωx+tanφ+tan2ωxtanφ+tanωxtan2φ.

∴2tanφ+2tan2ωxtanφ=0.

∴2tanφ（1+tan2ωx）=0.

∴tanφ=0.∴φ=kπ,k∈Z.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aex和g（x）=lnx-lna的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是點(diǎn)A，B，且以點(diǎn)A，B為切點(diǎn)的切線互相平行．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)F(x)=g(x)+
1x
，求函數(shù)F（x）的極值；
（Ⅲ）對(duì)于函數(shù)y=f（x）和y=g（x）公共定義域中的任意實(shí)數(shù)x0，我們把|f（x0）-g（x0）|的值稱(chēng)為兩函數(shù)在x0處的偏差，求證：函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）對(duì)于定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），滿足xf′（x）+2f（x）＜0，求證：函數(shù)y=x2f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（2）請(qǐng)你認(rèn)真研讀（1）中命題并聯(lián)系以下命題：若f（x）是定義在（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，滿足xf′（x）+f（x）＜0，則y=xf（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)．然后填空建立一個(gè)普遍化的命題：設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，n∈N+，若
x
x
×f′（x）+n×f（x）＜0，則
y=xnf（x）
y=xnf（x）
是（0，+∞）上的減函數(shù)．
注：命題的普遍化就是從考慮一個(gè)對(duì)象過(guò)渡到考慮包含該對(duì)象的一個(gè)集合；或者從考慮一個(gè)較小的集合過(guò)渡到考慮包含該較小集合的更大集合．
（3）證明（2）中建立的普遍化命題．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+ln(x+1)x
和g（x）=x-1-ln（x+1）
（I）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？說(shuō)明理由；
（II）求證：函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（2，3）上有唯一零點(diǎn)；
（III）當(dāng)x＞0時(shí)，不等式xf（x）＞kg'（x）恒成立，其中g(shù)'（x）是g（x）導(dǎo)函數(shù)，求正整數(shù)k的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2007•武漢模擬）（1）已知函數(shù)m（x）=ax2e-x （a＞0），求證：函數(shù)y=m（x）在區(qū)間[2，+∞）上為減函數(shù)．
（2）已知函數(shù)f（x）=ax2+2ax，g（x）=ex，若在（0，+∞）上至少存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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