Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為（

5

，0），離心率為

5

3

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀）為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率求得a和b，則橢圓的方可得．
（2）設(shè)出切線的方程，帶入橢圓方程，整理后利用△=0，整理出關(guān)于k的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示出k₁•k₂，進(jìn)而取得x₀和y₀的關(guān)系式，即P點(diǎn)的軌跡方程．

解答： 解：（1）依題意知

a2-b2=5 c a = 5 a = 5 3

，求得a=3，b=2，
∴橢圓的方程為

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）①當(dāng)兩條切線中有一條斜率不存在時(shí)，即A、B兩點(diǎn)分別位于橢圓長軸與短軸的端點(diǎn)，P的坐標(biāo)為（±3，±2），符合題意，
②當(dāng)兩條切線斜率均存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)P（x₀，y₀）的切線為y=k（x-x₀）+y₀，

x2

9

+

y2

4

=

x2

9

+

[k(x-x0)+y0]2

4

=1，整理得（9k²+4）x²+18k（y₀-kx₀）x+9[（y₀-kx₀）²-4]=0，
∴△=[18k（y₀-kx₀）]²-4（9k²+4）×9[（y₀-kx₀）²-4]=0，
整理得（x₀²-9）k²+2x₀×y₀×k+（y₀²-4）=0，
∴-1=k₁•k₂=

y 2 0 -4

x 2 0 -9

=-1，
∴x₀²+y₀²=13．
把點(diǎn)（±3，±2）代入亦成立，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為：x²+y²=13．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，軌跡方程的相關(guān)問題．對(duì)于求軌跡方程，最重要的是建立模型求得x和y關(guān)系．