Question

已知橢圓及圓的方程分別為

x2

a2

+

y2

b2

=1和x²+y²=r²，若直線AB與圓相切于點(diǎn)A，與橢圓有唯一的公共點(diǎn)B，若a＞b＞0是常數(shù)，試寫出AB長度隨動(dòng)圓半徑變化的函數(shù)關(guān)系式|AB|=f（x），并求其最大值．

Answer 1

分析：先設(shè)A（x₀，y₀），則過A的圓的切線方程為x₀x+y₀y=r²，將其與橢圓方程聯(lián)立，得一一元二次方程，由△=0，整理后即可得|AB|=f（r），求f（x）最大值時(shí)使用均值定理，注意等號成立的條件．

解答：解：設(shè)A（x₀，y₀），則過A的圓的切線方程為x₀x+y₀y=r²，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，得
（b2+

a2 x02

y02

）x²-

2a2r2x0

y02

x+

a2r4

y02

-a²b²=0
由△=0得（x-x₀）²+（y-y₀）²=a²+b²-

a2b2

r2

-x²
∴

f(x)= a2+b2- a2b2 x2 -x2 ，a＜x＜b

∵

a2b2

x2

+x²≥2

a2b2 x2 •x2

=2ab
∴f（x）≤

a2+b2-2ab

=a-b
（當(dāng)且僅當(dāng)x=

ab

時(shí)取等號）
∴

f(x)= a2+b2- a2b2 x2 -x2 ，a＜x＜b

f（x）的最大值為a-b

點(diǎn)評：本題考查了圓與橢圓的關(guān)系，直線與曲線相切的關(guān)系，有一定的運(yùn)算量，解題時(shí)要耐心細(xì)致