Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90，點(diǎn)D是棱B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求證AB₁∥平面A₁DC；
（2）求AC與平面A₁DC所成角的正弦值的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以A為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，求出面A₁DC的法向量

m

=（-1，1，1），

AB1

•

m

=0∴AB₁∥平面A₁DC；
（2）求出）

AC

與面A₁DC的法向量

m

的夾角的余弦，由圖得到AC與平面A₁DC所成角的關(guān)系即可．

解答： （1）證明：由題意知，AA₁⊥面ABC，以A為原點(diǎn)建立如圖空間坐標(biāo)系，設(shè)AB=1，有：A=（0，0，0），A₁=（0，0，1），C=（0，1，0），D=（

1

2

，

1

2

，1），

A1D

=（

1

2

，

1

2

，0），

A1C

=（0，1，-1），

AB1

=（1，0，1），設(shè)面A₁DC的法向量

m

=（x，y，z）

m • A1C =0 m • A1D =0

得

y-z=0 1 2 x+ 1 2 y=0

，面A₁DC的法向量

m

=（-1，1，1），

AB1

•

m

=0
∴AB₁∥平面A₁DC；
（2）

AC

=（0，1，0），由（1）知，面A₁DC的法向量

m

=（-1，1，1），設(shè)AC與平面A₁DC所成角為θ，sinθ=cos＜

m

，

AC

＞=

m • AC

| m || AC |

=

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的判定，線面角的求法，而利用向量法的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．