在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C1上的任意一點到點A（-1，0），B（1，0）的距離之和為2
2
．
（Ⅰ）求曲線C1的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C2：x2+
3y2
2
=1，若斜率為k的直線OM交橢圓C2于點M，垂直于OM的直線ON交曲線C1于點N．
（i）求證：|MN|的最小值為
2
；
（ii）問：是否存在以原點為圓心且與直線MN相切的圓？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由橢圓定義可知曲線C1的軌跡是橢圓，設(shè)C1的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，由已知條件知2a=2
2
，c=1，由此能求出曲線C1 的方程．
（Ⅱ）（ⅰ）當k=0，M為C2長軸端點，N為C1短軸的端點，|MN|=
2
設(shè)直線OM：y=kx，代入x2+
3y2
2
=1，得（2+3k 2 ）x2=2，由此能求出|MN|的最小值．
（ⅱ）存在以原點為圓心且與直線MN相切的圓．設(shè)Rt△MON斜邊上的高為h，當k=0時，h=
2
2
，當k≠0時，|OM|•|ON|=
2+2k2
2+3k2
•
2+2k2
2+k2
，由此能推導(dǎo)出存在以原點為圓心，半徑為
2
且與直線MN相切的圓，并能求出圓的方程．
解答： 滿分（13分）．
（Ⅰ）解：由橢圓定義可知曲線C1的軌跡是橢圓，
設(shè)C1的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，a＞b＞0，
所以2a=2
2
，c=1，則b=1，
故C1 的方程
x2
2
+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）（ⅰ） 證明：當k=0，M為C2長軸端點，
則N為C1短軸的端點，|MN|=
2
．…（4分）
當k≠0時，設(shè)直線OM：y=kx，代入x2+
3y2
2
=1，
整理得（2+3k 2 ）x2=2，即x2=
2
2+3k2
，y2=
2k2
2+3k2
，
所以|OM|2=x2+y2=
2+2k2
2+3k2
．…（6分）
又由已知OM⊥ON，設(shè)ON：y=-
1
k
x，同理解得|ON|2=
2+2k2
2+k2
，…（7分）
所以|MN|2=|OM|2+|ON|2=
2+2k2
2+3k2
+
2+2k2
2+k2

=（2+2k2）•
4+4k2
(2+3k2)•(2+k2)
，…（8分）
又|MN|2-2=
8(1+k2)2-2(2+3k2)•(2+k2)
(2+3k2)•(2+k2)

=
2k4
(2+3k2)•(2+k2)
＞0，
所以|MN|的最小值為
2
．…（9分）
（ⅱ）解：存在以原點為圓心且與直線MN相切的圓．
設(shè)Rt△MON斜邊上的高為h，由（Ⅱ）（�。┑卯攌=0時，h=
2
2
，…（10分）
當k≠0時，|OM|•|ON|=
2+2k2
2+3k2
•
2+2k2
2+k2
，
又|MN|=
(2+2k2)•
4+4k2
(2+3k2)•(2+k2)
，…（12分）
由|MN|•h=|OM|•|ON|，得h=
|OM|•|ON|
|MN|
=
2
2
，
故存在以原點為圓心，半徑為
2
且與直線MN相切的圓，
圓方程為x2+y2=
1
2
．…（13分）
點評：本小題考查橢圓的標準方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
sinωxcosωx+cos2ωx，x∈R，ω＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若函數(shù)f（x）的最小正周期為
π
2
，則當x∈[0，
π
2
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已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞c＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，c為半焦距，若以F2為圓心，b-c為半徑作圓F2，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于
3
2
（a-c），
（1）求橢圓離心率的取值范圍；
（2）設(shè)橢圓的短半軸長為1，圓F2與x軸的右交點為Q，過點Q作斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓相交于A，B兩點，與圓F2交于C，D兩點，若O在以AB為直徑的圓上，求|
CD
|的最大值．

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ax+by
x+y
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x+y
．

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已知函數(shù)f（x）=cos（2x-
π
3
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（2）若α為銳角，且f（
α
2
）=
3
4
，求sinα的值．

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已知實數(shù)m≠1，函數(shù)f（x）=
2x+m，x＜2
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．

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若數(shù)列的遞推公式為a1=1，an+1=2an-2n（n∈N*），則求這個數(shù)列的通項公式
 
．

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如圖的程序框圖，其運行結(jié)果是
 

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定義：對于各項均為整數(shù)的數(shù)列{an}，如果ai+i（i=1，2，3，…）為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列{an}具有“P性質(zhì)”；不論數(shù)列{an}是否具有“P性質(zhì)”，如果存在數(shù)列{bn}與{an}不是同一數(shù)列，且{bn}滿足下面兩個條件：
（1）b1，b2，b3，…，bn是a1，a2，a3，…，an的一個排列；
（2）數(shù)列{bn}具有“P性質(zhì)”，則稱數(shù)列{an}具有“變換P性質(zhì)”．給出下面三個數(shù)列：
①數(shù)列{an}的前n項和Sn=
n
3
（n2-1）；
②數(shù)列{bn}：1，2，3，4，5；
③數(shù)列{cn}：1，2，3，4，5，6．
具有“P性質(zhì)”的為
 
；具有“變換P性質(zhì)”的為
 
．

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同步練習(xí)冊答案