在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知點(diǎn)A（-
2
，0），B（
2
，0），E為動(dòng)點(diǎn)，且直線EA與直線EB的斜率之積為-
1
2
．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F（1，0）的直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M，N．若點(diǎn)P在y軸上，且|PM|=|PN|，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍．
（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），
∵點(diǎn)A（-
2
，0），B（
2
，0），E為動(dòng)點(diǎn)，且直線EA與直線EB的斜率之積為-
1
2
，
∴
y
x+
2
•
y
x-
2
=-
1
2
，
整理，得
x2
2
+y2=1，x≠±
2
，
∴動(dòng)點(diǎn)E的軌跡C的方程為
x2
2
+y2=1，x≠±
2
．
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0，
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
將y=k（x-1）代入
x2
2
+y2=1，并整理，得
（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，
△=8k2+8＞0，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=
4k2
2k2+1
，x1x2=
2k2-2
2k2+1
，
設(shè)MN的中點(diǎn)為Q，則xQ=
2k2
2k2+1
，yQ=k(xQ-1)=-
k
2k2+1
，
∴Q（
2k2
2k2+1
，-
k
2k2+1
），
由題意知k≠0，
又直線MN的垂直平分線的方程為y+
k
2k2+1
=-
1
k
(x-
2k2
2k2-1
)，
令x=0，得yP=
k
2k2+1
=
1
2k+
1
k
，
當(dāng)k＞0時(shí)，∵2k+
1
k
≥2
2
，∴0＜yP≤
1
2
2
=
2
4
；
當(dāng)k＜0時(shí)，因?yàn)?k+
1
k
≤-2
2
，所以0＞yP≥-
1
2
2
=-
2
4
．
綜上所述，點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍是[-
2
4
，
2
4
]．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線y=
3
x+2m和圓x2+y2=n2相切，其中m，n∈N，0＜|m-n|≤1，若函數(shù)f（x）=mx+1-n的零點(diǎn)x0∈（k，k+1）k∈Z，則k=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•鹽城二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓x2+
y2
4
=1在第一象限的部分為曲線C，曲線C在其上動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）處的切線l與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量
OM
=
OA
+
OB
．
（1）求切線l的方程（用x0表示）；
（2）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中．橢圓C：
x2
2
+y2=1的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l．
（1）求到點(diǎn)F和直線l的距離相等的點(diǎn)G的軌跡方程．
（2）過點(diǎn)F作直線交橢圓C于點(diǎn)A，B，又直線OA交l于點(diǎn)T，若
OT
=2
OA
，求線段AB的長；
（3）已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x0，y0），x0≠0，直線OM交直線
x0x
2
+y0y=1于點(diǎn)N，且和橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得
OP
2=λ
OM
•
ON
？，若存在，求出實(shí)數(shù)λ；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）中，橢圓E1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)在圓E2：x2+y2=a+b上，且橢圓的離心率是
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓E1和圓E2的方程；
（Ⅱ）是否存在經(jīng)過圓E2上的一點(diǎn)P（x0，y0）的直線l，使l與圓E2相切，與橢圓E1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，且
OA
•
OB
=3？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x0的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•南京二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)A(
a
2
，
a
2
)，B(
3
，1)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)P（x0，y0）在橢圓C上，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，直線l的方程為x0x+3y0y-6=0．
①求證：直線l與橢圓C有唯一的公共點(diǎn)；
②若點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，求證：當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線PQ恒過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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同步練習(xí)冊(cè)答案