Question

如圖所示，在四凌錐E-ABCD中，AD⊥平面ABE，四邊形ABCD為矩形，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE，AC∩BD=G．
（1）求證：AE⊥平面BCE；
（2）求證：AE∥平面BFD；
（3）求三棱椎C-BGF的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AD⊥平面ABE且AD∥BC，得BC⊥平面ABE，從而得出AE⊥BC，由BF⊥平面ACE得AE⊥BF，利用線面垂直的判定定理，可得AE⊥平面BCE；
（2）連接GF，由BF⊥面ACE得BF⊥CE，結(jié)合BE=BC證出F為EC的中點(diǎn)．結(jié)合在矩形ABCD中G為AC中點(diǎn)，利用三角形的中位線證出GF∥AE，最后利用線面平行的判定定理，即可證出AE∥平面BFD；
（3）由前面的證明可得GF⊥平面BCF，得GF是三棱錐G-BCF的高．Rt△BCE中算出S_△BCF=

1

2

S△BCE=1，結(jié)合GF=

1

2

AE=1，利用錐體體積公式算出三棱錐G-BCF的體積，即可得到三棱椎C-BGF的體積．

解答：解：（1）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC．
∴BC⊥平面ABE，結(jié)合AE?平面ABE，得AE⊥BC．
又∵BF⊥平面ACE，AE?面ACE，∴AE⊥BF，
∵BC、BF是平面BCE內(nèi)的相交直線，∴AE⊥平面BCE；
（2）連接GF．
∵BF⊥面ACE，CE?面ACE，∴BF⊥CE．
∵△BCE中，BE=BC，∴F為EC的中點(diǎn)．
∵矩形ABCD中，對(duì)角線AC∩BD=G，∴G為AC中點(diǎn)，
因此，GF是△ACE的中位線，可得GF∥AE．
∵AE?面BFD，GF?面BFD，∴AE∥面BFD；
（3）∵AE⊥平面BCE，GF∥AE，∴GF⊥平面BCE，即GF⊥平面BCF，
因此，GF是三棱錐G-BCF的高．
∵Rt△BCE中，EB=BC=2，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，∴S_△BCF=

1

2

S△BCE=1，
∵GF=

1

2

AE=1，∴三棱錐G-BCF的體積為V_G-BCF=

1

3

×S_△BCF×GF=

1

3

，
即三棱椎C-BGF的體積V=V_G-BCF=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定與性質(zhì)以及錐體體積的求法等知識(shí)，同時(shí)考查了推理論證的能力，屬于中檔題．