Question

已知函數(shù)．
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（3）已知a，b∈（-1，1），且滿足，若，，求f（a），f（b）的值．

Answer 1

解：（1）若使函數(shù)的解析式有意義，
自變量x須滿足
∴-1＜x＜1，函數(shù)定義域（-1，1）
∵定義域關(guān)于原點對稱
f（-x）==-f（x）
故f（x）為奇函數(shù)
（2）函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增
證明：任取x₁，x₂，且-1＜x₁＜x₂＜1
∵f（x₁）-f（x₂）=-=
而 
∴f（x₁）-f（x₂）＜lg1=0
即f（x₁）＜f（x₂）
故函數(shù)f（x）單調(diào)遞增
（3）∵，，
∴f（a）+f（b）=1…①
∴=f（a）-f（b）
又∵，
f（a）-f（b）=2…②
解得f（a）=，f（b）=-
分析：（1）先分析函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，再分析f（-x）與f（x）的關(guān)系，進而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可得答案．
（2）任取x₁，x₂，且-1＜x₁＜x₂＜1，進而判斷f（x₁）與f（x₂）的大小關(guān)系，進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可得答案．
（3）由（1）中函數(shù)的奇偶性，結(jié)合，若，，可構(gòu)造關(guān)于f（a），f（b）的方程組，解方程組可得答案．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的定義及證明，函數(shù)奇偶性的定義及證明，函數(shù)的定義域，函數(shù)的值，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．