Question

16．求下列函數(shù)的值域．
（1）y=x+$\sqrt{x-1}$；
（2）y=$\frac{1+4x+{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)x-1≥0，便可得出x的范圍，從而根據(jù)不等式的性質(zhì)便可得出$x+\sqrt{x-1}$的范圍，即得出該函數(shù)的值域；
（2）觀察函數(shù)解析式，便可發(fā)現(xiàn)若分子分母同除以x可以化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，這便需討論a是否為0：a=0時(shí)，求出y=1；a≠0時(shí)，原函數(shù)可變成y=$1+\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$，這樣根據(jù)基本不等式便可求出y的范圍，對(duì)求得的y值求并集即可得出該函數(shù)的值域．

解答 解：（1）x-1≥0；
∴$x≥1，\sqrt{x-1}≥0$；
∴$x+\sqrt{x-1}≥1$；
∴該函數(shù)的值域?yàn)閇1，+∞）；
（2）①若x=0，則y=1；
②若x≠0，則$y=\frac{1+4x+{x}^{2}}{1+{x}^{2}}=\frac{\frac{1}{x}+x+4}{\frac{1}{x}+x}$=$1+\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$；
1）x＞0時(shí)，$x+\frac{1}{x}≥2$，x=1時(shí)取“=”；
∴$0＜\frac{1}{x+\frac{1}{x}}≤\frac{1}{2}$；
∴1＜y≤3；
2）x＜0時(shí)，$x+\frac{1}{x}=-[（-x）+\frac{1}{-x}]≤-2$，x=-1時(shí)取“=”；
$-\frac{1}{2}≤\frac{1}{x+\frac{1}{x}}＜0$；
∴-1≤y＜1；
∴綜上得原函數(shù)的值域?yàn)椋篬-1，3]．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)值域的概念，根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)值域的方法，根據(jù)基本不等式求值域，不要漏了a=0的情況．