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  已知A、B、C、P為平面內四點，求證：A、B、C三點在一條直線上的充要條件是存在一對實數m、n，使=m+n，且m+n=1．


解析:

A、B、C 三點共線的一個充要條件是存在 實數λ，使得=λ．很顯然，題設條件中向量表達式并未涉及、，對此，我們不妨利用=＋ 來轉化，以便進一步分析求證．

證明  充分性，由=m＋n， m＋n=1，  得

   ＋=m＋n（＋）

   =（m＋n）＋n=＋n，

    ∴=n．

∴A、B、C三點共線．

必要性:由A、B、C 三點共線知，存在常數λ，使得=λ，   

即   +=λ（+）．

=（λ－1）＋λ=（1－λ）＋λ，

m=1－λ，n=λ，m＋n=1，

 =m＋n．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知A、B兩點的坐標分別為A（-1，0）、B（1，0），動點M滿足MA+MB=2
2
．
（1）求動點M的軌跡方程；
（2）若點C在（1）中的軌跡上，且滿足△ABC為直角三角形，求點C的坐標；
（3）設經過B點的直線l與（1）中的軌跡交于P、Q兩點，問是否存在這樣的直線l使得△APQ為正三角形，若存在求出直線l的方程，若不存在說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A，B，C，P為平面內四點，求證：A、B、C三點在一條直線上的充要條件是存在一對實數m，n，使
PC
=m
PA
+n
PB
，且m+n=1．

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科目：高中數學 來源：天津市新人教A版數學2012屆高三單元測試4：充分必要條件 新人教A版 題型：013

已知a、b、c、p為空間的任意向量，O、A、B、C為空間的任意點，有下列命題

①a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb

②向量p與向量a、b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb

③若向量{a、b、c}是空間的一個基底，則{a＋b，a－b，c}也可構成空間的另一個基底

④若、、不構成空間的一個基底，則O、A、B、C一定共面

其中真命題的個數是

[　　]

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a、b、c、p為空間的任意向量，O、A、B、C為空間的任意點，有下列命題

①a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb

②向量p與向量a、b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對（x，y），使p＝xa＋yb

③若向量{a、b、c}是空間的一個基底，則{a＋b，a－b，c}也可構成空間的另一個基底

④若OA、OB、OC不構成空間的一個基底，則O、A、B、C一定共面

其中真命題的個數是（   ）

A．1個         B．2個         C．3個         D．4個

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