已知函數(shù)，，函數(shù)的圖像在點處的切線平行于軸．

（1）求的值；

（2）求函數(shù)的極小值；

（3）設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點，（）

證明：．

 

【答案】

（1）（2）（3）證明如下

【解析】

試題分析：解：（1）依題意得，則

由函數(shù)的圖象在點處的切線平行于軸得：

∴ 

（2）由（1）得 

∵函數(shù)的定義域為，令得或

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．故函數(shù)的極小值為

（3）證法一：依題意得，

要證，即證

因，即證 

令（），即證（）

令（）則

∴在（1，+）上單調(diào)遞減，

∴ 即，--------------①

令（）則

∴在（1，+）上單調(diào)遞增，

∴=0，即（）--------------②

綜①②得（），即．

【證法二：依題意得，

令則

由得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，

在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又

即

考點：導(dǎo)數(shù)的運用

點評：導(dǎo)數(shù)常應(yīng)用于求曲線的切線方程、求函數(shù)的最值與單調(diào)區(qū)間、證明不等式和解不等式中參數(shù)的取值范圍等。

 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=(
1
3
)x，那么（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+數(shù)學(xué)公式（A＞0，ω＞0）圖象上的一個最高點的坐標(biāo)為（數(shù)學(xué)公式），則此點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點（數(shù)學(xué)公式），若φ∈（數(shù)學(xué)公式）．
（1）試求這條曲線的函數(shù)表達式；
（2）求函數(shù)的對稱中心；
（3）用”五點法”畫出（1）中函數(shù)在[0，π]上的圖象；
（4）試說明y=sin2x的圖象是由y=f（x）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年云南師大附中大理分校高一（上）期末數(shù)學(xué)模擬試卷（二）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+（A＞0，ω＞0）圖象上的一個最高點的坐標(biāo)為（），則此點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點（），若φ∈（）．
（1）試求這條曲線的函數(shù)表達式；
（2）求函數(shù)的對稱中心；
（3）用”五點法”畫出（1）中函數(shù)在[0，π]上的圖象；
（4）試說明y=sin2x的圖象是由y=f（x）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知函數(shù)y=(
1
3
)x，那么（　�。�
A．函數(shù)的圖象過點（0，1），函數(shù)在（-∞，+∞）上是增函數(shù)
B．函數(shù)的圖象過點（1，0），函數(shù)在（-∞，+∞）上是增函數(shù)
C．函數(shù)的圖象過點（1，0），函數(shù)在（-∞，+∞）上是減函數(shù)
D．函數(shù)的圖象過點（0，1），函數(shù)在（-∞，+∞）上是減函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川省模擬題 題型：單選題

已知函數(shù)的圖象如下圖：將函數(shù)y=f（x）(x∈R)的圖象向左平移個單位，得函數(shù)y=g（x）的圖象（g′（x）為g（x）的導(dǎo)函數(shù)），下面結(jié)論正確的是
[     ]
A．函數(shù)g（x）是奇函數(shù)
B．函數(shù)g′（x）在區(qū)間上是減函數(shù)
C．g（x）·g′（x）的最小值為-3
D．函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點對稱

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