Question

數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式an=(n+1)2（n∈N*），f(n)=(1-

1

a1

)•(1-

1

a2

)•…•(1-

1

an

)，試通過計(jì)算f（1），f（2），f（3），…的值，推測(cè)出f（n）的表達(dá)式為

n+2

2n+2

．

Answer 1

分析：根據(jù)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式an=(n+1)2（n∈N*），計(jì)算出a₁，a₂，a₃，然后計(jì)算f（1），f（2），f（3）的值，然后利用歸納推理得到結(jié)論．

解答：解：∵數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式an=(n+1)2（n∈N*），
∴a₁=4，a₂=9．a(chǎn)₃=16，
∵f(n)=(1-

1

a1

)•(1-

1

a2

)•…•(1-

1

an

)，
∴f（1）=1-

1

a1

=1-

1

4

=

3

4

，
f（2）=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)=

3

4

×(1-

1

9

)=

3

4

×

8

9

=

2

3

=

4

6

，
f（3）=

3

4

×

8

9

×(1-

1

16

)=

3

4

×

8

9

×

15

16

=

5

8

，
∴由歸納推理可推測(cè)出f（n）的表達(dá)式為：

n+2

2n+2

，
故答案為：

n+2

2n+2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，利用數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算出f（1），f（2），f（3）的值，即可得到規(guī)律．