Question

7．設(shè)實數(shù)a∈R，函數(shù)$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}$是R上的奇函數(shù)．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（-1，1）時，求滿足不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0的實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義求出a的值即可，
（Ⅱ）根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）因為函數(shù)$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}$是R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0．（2分）
即$a-\frac{2}{{{2^0}+1}}=0$，解得a=1．（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得$f（x）=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}$．
因為f（x）是R上的奇函數(shù)，由f（1-m）+f（1-m²）＜0，
得f（1-m）＜-f（1-m²），即f（1-m）＜f（m²-1）．（5分）
下面證明f（x）在R是增函數(shù)．
設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{1-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}}）-（{1-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}}）=\frac{{2（{{2^{x_1}}-{2^{x_2}}}）}}{{（{{2^{x_1}}+1}）（{{2^{x_2}}+1}）}}$（6分）
因為x₁＜x₂，所以${2^{x_1}}＜{2^{x_2}}$，${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0$，而${2^{x_1}}+1＞0，{2^{x_2}}+1＞0$，
所以$\frac{{2（{{2^{x_1}}-{2^{x_2}}}）}}{{（{{2^{x_1}}+1}）（{{2^{x_2}}+1}）}}＜0$，
即f（x₁）＜f（x₂），所以$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}$是R上的增函數(shù)．（8分）
當(dāng)x∈（-1，1）時，由f（1-m）＜f（m²-1）得$\left\{\begin{array}{l}-1＜1-m＜1\\-1＜{m^2}-1＜1\\ 1-m＜{m^2}-1\end{array}\right.$，（10分）
解得$1＜m＜\sqrt{2}$．
所以，當(dāng)x∈（-1，1）時，滿足不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0的實數(shù)m的取值范圍是$（1，\sqrt{2}）$．（12分）

點評 本題主要考查不等式的求解，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式以及利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．