(理)已知三個互不相等的正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,公比為q.在a,b之間和b,c之間共插入n個數(shù),使這n+3個數(shù)構成等差數(shù)列.
(1)若a=1,在b,c之間插入一個數(shù),求q的值;
(2)設a<b<c,n=4,問在a,b之間和b,c之間各插入幾個數(shù),請說明理由;
(3)若插入的n個數(shù)中,有s個位于a,b之間,t個位于b,c之間,試比較s與t的大。

解:(1)若a=1,因為a,b,c是互不相等的正數(shù),所以q>0且q≠1.
由已知,a,b,c是首項為1,公比為q的等比數(shù)列,則b=q,c=q2
當插入的一個數(shù)位于b,c之間,設由4個數(shù)構成的等差數(shù)列的公差為d,則,消去d得2q2-3q+2=0,
因為q≠1,所以q=2.
(2)設所構成的等差數(shù)列的公差為d,由題意,d>0,共插入4個數(shù).
若在a,b之間插入1個數(shù),在b,c之間插入3個數(shù),則
于是,2b-2a=c-b,q2-3q+2=0,解得q=2.
若在a,b之間插入3個數(shù),在b,c之間插入1個數(shù),則
于是,2c-2b=b-a,解得(不合題意,舍去).
若a,b之間和b,c之間各插入2個數(shù),則,b-a=c-b,解得q=1(不合題意,舍去),
綜上,a,b之間插入1個數(shù),在b,c之間插入3個數(shù).
(3)設所構成的等差數(shù)列的公差為d,
由題意可得,b=a+(s+1)d,,又c=b+(t+1)d,,
所以,,即,因為q≠1,所以
所以,當q>1,即a<b<c時,s<t;當0<q<1,即a>b>c時,s>t.
分析:(1)若a=1,設由4個數(shù)構成的等差數(shù)列的公差為d,則,消去d,求得q的值.
(2)設所構成的等差數(shù)列的公差為d,由題意,d>0,共插入4個數(shù).若在a,b之間插入1個數(shù),在b,c之間插入3個數(shù),求得q的值;若在a,b之間插入3個數(shù),在b,c之間插入1個數(shù),求得q的值;若a,b之間和b,c之間各插入2個數(shù),求得q的值,綜合可得結論.
(3)設所構成的等差數(shù)列的公差為d,由題意可得,因為q≠1,所以,分q>1和 0<q<1兩種情況,分別得出結論.
點評:本題主要考查等差數(shù)列的定義、性質以及通項公式,等比數(shù)列的定義、性質以及通項公式的應用,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想,屬于中檔題.
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C.一定沒有實數(shù)根                                        D.一定有實數(shù)根

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