【題目】如圖所示,在中, 的中點為,且,點在的延長線上,且.固定邊,在平面內(nèi)移動頂點,使得圓與邊,邊的延長線相切,并始終與的延長線相切于點,記頂點的軌跡為曲線.以所在直線為軸, 為坐標(biāo)原點如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè)動直線交曲線于兩點,且以為直徑的圓經(jīng)過點,求面積的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】【試題分析】(1)依據(jù)題設(shè)條件運用橢圓的定義進(jìn)行分析探求;(2)借助題設(shè)條件運用直線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)行分析求解:
(Ⅰ)依題意得,設(shè)動圓與邊的延長線相切于,與邊相切于, 則
所以
所以點軌跡是以為焦點,長軸長為4的橢圓,且挖去長軸的兩個頂點.則曲線的方程為.
由于曲線要挖去長軸兩個頂點,所以直線斜率存在且不為,所以可設(shè)直線
由得,,同理可得: ,;
所以,
又,所以令,
則且,所以
又,所以,
所以,
所以,所以,
所以面積的取值范圍為.
【法二】
依題意得直線斜率不為0,且直線不過橢圓的頂點,則可設(shè)直線: ,且。
設(shè),又以為直徑的圓經(jīng)過點,則,所以
由得,則
且,所以
又
代入①得: ,所以,
代入②得: 恒成立所以且.
又;
點到直線的距離為,
所以
(Ⅰ)當(dāng)時, ;
(Ⅱ)當(dāng)且時,
,
又,當(dāng)且僅當(dāng)時取“”,所以,
所以,所以,
所以,所以;
綜合(1),(2)知.
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【題目】已知函數(shù)().
(Ⅰ)若方程有兩根,求的取值范圍;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的前提下,設(shè),求證: 隨著的減小而增大;
(Ⅲ)若不等式恒成立,求證: ().
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【題目】已知圓, 在拋物線上,圓過原點且與的準(zhǔn)線相切.
(Ⅰ) 求的方程;
(Ⅱ) 點,點(與不重合)在直線上運動,過點作的兩條切線,切點分別為, .求證: (其中為坐標(biāo)原點).
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【題目】回答下列問題
(1)已知圓C的方程為x2+y2=4,直線l過點P(1,2),且與圓C交于A、B兩點.若|AB|=2 ,求直線l的方程;
(2)設(shè)直線l的方程為(a+1)x+y﹣2﹣a=0(a∈R).若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求直線l的方程.
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【題目】已知: 、 、 是同一平面上的三個向量,其中 =(1,2).
(1)若| |=2 ,且 ∥ ,求 的坐標(biāo).
(2)若| |= ,且 +2 與2 ﹣ 垂直,求 與 的夾角θ
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【題目】已知點、,動點滿足,設(shè)動點的軌跡為曲線,將曲線上所有點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话,橫坐標(biāo)不變,得到曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)是曲線上兩點,且, 為坐標(biāo)原點,求面積的最大值.
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【題目】我國科研人員屠呦呦法相從青篙中提取物青篙素抗瘧性超強(qiáng),幾乎達(dá)到100%,據(jù)監(jiān)測:服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間r(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線
(1)寫出第一服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x);
(2)據(jù)進(jìn)一步測定:每毫升血液中含藥量不少于 微克時,治療有效,求服藥一次后治療有效的時間是多長?
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