Question

（2013•紅橋區(qū)二模）如圖，已知⊙O的直徑AB=14，PB、PC分別切⊙O于B、C兩點(diǎn)，PA交⊙O于點(diǎn)D，且AC：CB=1：

3

，則∠BPC=

60°

；AD=

4

7

．

Answer 1

分析：利用圓的性質(zhì)、含30°的直角三角形的邊角關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、切割線定理即可得出．

解答：解：①連接AC、BC．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．
∴tan∠BAC=

BC

AC

=

3

，∴∠BAC=60°．②∵PB、PC分別切⊙O于B、C兩點(diǎn)，∴∠PBC=∠PCB=∠BAC=60°，∴∠BPC=60°．
在Rt△ABC中，BC=AB•sin60°=14×

3

2

=7

3

=PB．
在Rt△ABP中，PA²=PB²+AB²=(7

3

)2+142=(7

7

)2，∴PA=7

7

．
由切割線定理可得：PB²=PD•PA．∴PD=

(7 3 )2

7 7

=3

7

．
∴AD=PA-PD=4

7

．
故答案分別為60°，4

7

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)、含30°的直角三角形的邊角關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、切割線定理是解題的關(guān)鍵．