Question

在等比數(shù)列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₃+a₅=5，又a₃與a₅的等比中項為2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）設b_n=，記數(shù)列{b_n}的前n項和S_n，求證：S_n≤．

Answer 1

（1）解：∵a₃與a₅的等比中項為2，∴a₃a₅=4，
又∵a₃+a₅=5，q∈（0，1），
∴a₃=4，a₅=1，解得q=，
∴a_n=2^5-n；
（2）證明：b_n===（）
∴S_n=（1-+-+…+）=（1-）
即S_n≤成立
分析：（1）直接利用a₃+a₅=5，以及a₃與a₅的等比中項為2，即可求出a₃和a₅，進而求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）先把（1）的結論代入整理出數(shù)列{b_n}的通項公式，求和，即可證得結論．
點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎知識以及數(shù)列求和的裂項法，是對基礎知識的考查，屬于中檔題．