Question

【題目】如圖，已知AD、BE、CF分別是△ABC三邊的高，H是垂心，AD的延長線交△ABC的外接圓于點G．

（1）求證：∠CHG=∠ABC；
（2）求證：ABGD=ADHC．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD、CF分別是△ABC三邊的高，

∴AD⊥BC，CF⊥AB，

即有∠HDB=∠HFB=90°，

可得四點H，F，B，D共圓，

由圓內接四邊形的性質可得，

∠CHG=∠ABC．

（2）證明：連結CG，

∵∠ABC與∠AGC同弧圓周角，

∴∠ABC=∠AGC，

∵∠CHG=∠ABC，

∴∠CHG=∠AGC，

∴GC=HC，

在Rt△ADB和Rt△GDC中，

∵∠ABC=∠AGC，即∠ABD=∠CGD，

∴Rt△ADB∽Rt△GDC，

∴ ，

∴ABGD=ADGC，

又∵GC=HC，

∴ABGD=ADHC．

【解析】（1）由三角形的高的定義，可得∠HDB=∠HFB=90°，則四點H，F，B，D共圓，由圓內接四邊形的性質，即可得證；（2）連結CG，由同弧所對圓周角相等，證得Rt△ADB∽Rt△GDC，由相似三角形的性質：對應邊成比例，即可得證．