Question

15．若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足2S_n=3a_n-1（n∈N^*），等差數(shù)列{b_n}滿足b₁=3a₁，b₃=S₂+3
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=$\frac{n+2}{_{n}•_{n+1}•{a}_{n}}$（n∈N^*），且{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：T_n$＜\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列遞推式求出a₁，在數(shù)列遞推式中取n=n-1得另一遞推式，作差后得到數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求，再由b₁=3a₁，b₃=S₂+3求出數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)和公差，則{b_n}的通項(xiàng)公式可求．
（2）c_n=$\frac{n+2}{（2n+1）（2n+3）•{3}^{n-1}}$，c₁=$\frac{1}{5}$，c₂=$\frac{4}{105}$，c₃=$\frac{5}{567}$，c₄=$\frac{2}{891}$，n≥5時(shí)，$\frac{n+2}{{3}^{n-1}}$≤$\frac{7}{81}$，c_n=＜$\frac{7}{162}$（$\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$），由此能證明T_n＜$\frac{1}{4}$．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足2S_n=3a_n-1（n∈N^*），①
∴當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=3a₁-1，解得a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=3a_n-1-1，②，
①-②，得：2a_n=3a_n-3a_n-1，n≥2，
∴a_n=3a_n-1，
∴{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}={3}^{n-1}$．
∵等差數(shù)列{b_n}滿足b₁=3a₁，b₃=S₂+3，
∴b₁=3a₁=3，b₃=S₂+3=1+3+3=3+2d，解得d=2，
∴b_n=3+（n-1）×2=2n+1．
證明：（2）∵c_n=$\frac{n+2}{_{n}•_{n+1}•{a}_{n}}$（n∈N^*），a_n=3^n-1，b_n=2n+1，
∴c_n=$\frac{n+2}{（2n+1）（2n+3）•{3}^{n-1}}$，c₁=$\frac{3}{3×5}$=$\frac{1}{5}$，${c}_{2}=\frac{4}{5×7×3}$=$\frac{4}{105}$，${c}_{3}=\frac{5}{7×9×9}$=$\frac{5}{567}$，c₄=$\frac{6}{9×11×27}$=$\frac{2}{891}$，
n≥5時(shí)，$\frac{n+2}{{3}^{n-1}}$≤$\frac{7}{81}$，c_n=$\frac{n+2}{（2n+1）（2n+3）•{3}^{n-1}}$＜$\frac{7}{81}$×$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{7}{162}$（$\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$），
∴T_n＜$\frac{1}{5}+\frac{4}{105}$+$\frac{7}{162}$（$\frac{1}{11}-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-\frac{1}{15}+…+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{5}+\frac{4}{105}+\frac{5}{567}$+$\frac{2}{891}$+$\frac{7}{162}$（$\frac{1}{11}-\frac{1}{2n+3}$）
＜$\frac{1}{5}+\frac{4}{105}+\frac{5}{567}$+$\frac{2}{891}$+$\frac{1}{1782}$
=$\frac{21805}{87318}$$＜\frac{1}{4}$．
∴T_n＜$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題，解題量要注意放縮法的合理運(yùn)用．