Question

6．設(shè)S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知a₄=9，a₃+a₇=22．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）求證：$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{S_n}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)等差數(shù)列中下標(biāo)和相等兩項(xiàng)和相等及a₃+a₇=22可知a₅=11，利用d=a₅-a₄計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）、裂項(xiàng)可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 （1）解：依題意，2a₅=a₃+a₇=22，即a₅=11，
又∵a₄=9，
∴公差d=a₅-a₄=2，
∴a_n=a₄+（n-4）d=2n+1；
（2）證明：由（1）可知${S_n}={n^2}+2n$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
累加得：$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{S_n}=\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）＜\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查求數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，利用裂項(xiàng)相消法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．