Question

已知函數(shù)f（x）=lg

1-x

1+x

，若函數(shù)g（x）=f（x）-x-m在[0，

9

11

]上恒有零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：判定f（x）是定義域上的減函數(shù)，得g（x）是[0，

9

11

]上的減函數(shù)；由題意g（0）•g（

9

11

）＜0，從而求出m的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=lg

1-x

1+x

，
∴

1-x

1+x

＞0，即-1＜x＜1；
又f′（x）=

1+x

1-x

×

1

ln10

×

-(1+x)-(1-x)

(1+x)2

＜0，
∴f（x）是定義域上的減函數(shù)；
∴g（x）=f（x）-x-m在[0，

9

11

]上是減函數(shù)；
且g（0）=-m，g（

9

11

）=lg

1- 9 11

1+ 9 11

-

9

11

-m=-1-

9

11

-m=-

20

11

-m；
由題意g（0）•g（

9

11

）＜0，
即（-m）•（-

20

11

-m）＜0，
解得-

20

11

＜m＜0；
∴m的取值范圍是{m|-

20

11

＜m＜0}．

點評：本題通過函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了判定函數(shù)零點的問題，是中檔題．