16.如圖:已知正方形ABCD的邊長為2,且AE⊥平面CDE,AD與平面CDE所成角為30°.
(1)求證:AB∥平面CDE;
(2)求三棱錐D-ACE的體積.

分析 (1)通過AB∥CD,利用直線與平面平行的判定定理證明AB∥平面CDE.
(2)證明CD⊥平面ADE,CD⊥DE.通過體積轉(zhuǎn)化VD-ACE=VA-CDE.求解即可.

解答 證明:(1)正方形ABCD中,AB∥CD,又AB?平面CDE,CD?平面CDE,
所以AB∥平面CDE.
(2)因為AE⊥平面CDE,AD與平面CDE所成角為30°∴∠ADE=30°∴AE=1
因為AE⊥平面CDE,且CD?平面CDE,所以AE⊥CD,
又正方形ABCD中,CD⊥AD,且AE∩AD=A,AE,AD?平面ADE,
所以CD⊥平面ADE,又DE?平面ADE,
所以CD⊥DE.
∵$CD=2,DE=\sqrt{3}$.
∴${V_{D-ACE}}={V_{A-CDE}}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}2•\sqrt{3}•1=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.

點評 本題考查幾何體的體積的求法,直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用,考查空間想象能力以及計算能力.

練習(xí)冊系列答案
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