Question

過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若

1

|AF|

-

1

|BF|

=

1

2

，則直線l的傾斜角θ(0＜θ≤

π

2

)等于（　�。�

• A．

  π

  2

• B．

  π

  3

• C．

  π

  4

• D．

  π

  6

Answer 1

分析：設(shè)A（a，b）B（c，d），F(xiàn)（1，0）則可得直線AB的方程為y=k（x-1），聯(lián)立方程

y=k(x-1) y2=4x

而

1

AF

-

1

BF

=

1

a+1

-

1

c+1

=

c-a

a+c+ac+1

結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求k，結(jié)合 θ∈（0，

π

2

） 可求

解答：解：由題意可得直線AB的斜率K存在
設(shè)A（a，b）B（c，d），F(xiàn)（1，0）則可得直線AB的方程為y=k（x-1）
聯(lián)立方程

y=k(x-1) y2=4x

整理可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∴a+c=

4

k2

+2，ac=1
∴a-c=

(a+C)2-4ac

=

4 1+k2

k2

；
∵

1

|AF|

-

1

|BF|

=

1

a+1

-

1

c+1

=

c-a

ac+a+c+1

=

1+k2

1+k2

=

1

2

∴k=

3

或 k=-

3

∵θ∈（0，

π

2

）∴k=

3

，θ=

π

3

故選：B．

點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線y²=2px（p＞0）的焦半徑公式PF=x+

p

2

的應(yīng)用及直線與拋物線相交關(guān)系中方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用