Question

已知兩圓x²+y²-2x-6y-1=0．x²+y²-10x-12y+m=0．
（1）m取何值時(shí)兩圓外切？
（2）m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？
（3）當(dāng)m=45時(shí)，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）先把兩個(gè)圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心和半徑，再根據(jù)兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和，求得m的值．
（2）由兩圓的圓心距d=

(5-1)2+(6-3)2

=5 等于兩圓的半徑之差為|

11

-

61-m

，求得m的值．
（3）當(dāng)m=45時(shí)，把兩個(gè)圓的方程相減，可得公共弦所在的直線方程．求出第一個(gè)圓的圓心（1，3）到公共弦所在的直線的距離d，再利用弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)．

解答：解：（1）由已知可得兩個(gè)圓的方程分別為（x-1）²+（y-3）²=11、（x-5）²+（y-6）²=61-m，
兩圓的圓心距d=

(5-1)2+(6-3)2

=5，兩圓的半徑之和為

11

+

61-m

，
由兩圓的半徑之和為

11

+

61-m

=5，可得 m=25+10

11

．
（2）由兩圓的圓心距d=

(5-1)2+(6-3)2

=5 等于兩圓的半徑之差為|

11

-

61-m

|，
即|

11

-

61-m

|=5，可得 

11

-

61-m

=5 （舍去），或 

11

-

61-m

=-5，解得m=25-10

11

．
（3）當(dāng)m=45時(shí)，兩圓的方程分別為 （x-1）²+（y-3）²=11、（x-5）²+（y-6）²=16，
把兩個(gè)圓的方程相減，可得公共弦所在的直線方程為 4x+3y-23=0．
第一個(gè)圓的圓心（1，3）到公共弦所在的直線的距離為 d=

|4+9-23|

5

=2，可得弦長(zhǎng)為 2

11-4

=2

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)圓的位置關(guān)系的判斷方法，點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．