Question

已知二次函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)0和－2，且f(x)最小值是－1，函數(shù)g(x)與f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

(1)求f(x)和g(x)的解析式；

(2)若h(x)＝f(x)－λg(x)在區(qū)間[－1,1]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

解析：(1)依題意，設(shè)f(x)＝ax(x＋2)＝ax²＋2ax(a>0)．

∵f(x)圖象的對(duì)稱軸是x＝－1，

∴f(－1)＝－1，即a－2a＝－1，得a＝1.

∴f(x)＝x²＋2x.

又∵函數(shù)g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴g(x)＝－f(－x)＝－x²＋2x.

(2)由(1)得h(x)＝x²＋2x－λ(－x²＋2x)

＝(λ＋1)x²＋2(1－λ)x.

①當(dāng)λ＝－1時(shí)，h(x)＝4x滿足在區(qū)間[－1,1]上是增函數(shù)；

②當(dāng)λ<－1時(shí)，h(x)圖象對(duì)稱軸是x＝，

則≥1，又λ<－1，解得λ<－1；

③當(dāng)λ>－1時(shí)，同理則需≤－1，

又λ>－1，解得－1<λ≤0.

綜上，滿足條件的實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(－∞，0]．