Question

拋物線y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1（n∈N^*），交x軸于A_n，B_n兩點(diǎn)，則|A₁B₁|+|A₂B₂|+|A₃B₃|+…+|A₂₀₀₈B₂₀₀₈|值為________．

Answer 1

分析：A_n、B_n是拋物線y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1與x軸的交點(diǎn)，所以其橫坐標(biāo)為（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0的根，求出一元二次方程的根，根據(jù)兩點(diǎn)間的坐標(biāo)差求出距離，找出規(guī)律解答即可
解答：由已知A_n、B_n的橫坐標(biāo)為（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0的根，
即A_n、B_n的橫坐標(biāo)為（n²+n）（x-）（x-）=0的根．
故拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，0）和（ ，0）
由題意，AnBn=．
∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+|A₃B₃|+…+|A₂₀₀₈B₂₀₀₈|=1-++-+…+=1-=．
故答案為：．
點(diǎn)評：（1）本題考查的是二次函數(shù)與一元二次方程，在解答過程中，注意二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系，并從中擇取有用信息解題；
（2）求兩點(diǎn)間的距離時，要利用兩點(diǎn)間的坐標(biāo)差來解答．