已知橢圓的左、右焦點分別為、，為原點.

（1）如圖1，點為橢圓上的一點，是的中點，且，求點到軸的距離；

（2）如圖2，直線與橢圓相交于、兩點，若在橢圓上存在點，使四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．

 

 

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先設(shè)點的坐標，并利用點的坐標來表示點的坐標，利用以及點在橢圓上列方程組求解點的坐標，從而求出點到軸的距離；（2）先設(shè)點、，利用為平行四邊形，得到，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理與點在橢圓上這一條件，列相應等式求出實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）由已知得、，

設(shè)，則的中點為，

，，即，

整理得，①，又有，②

由①②聯(lián)立解得或（舍）

點到軸的距離為；

（2）設(shè)，，，

四邊形是平行四邊形

線段的中點即為線段的中點，即，，

點在橢圓上，，

即，

化簡得，

由得，

由得，④

且，代入③式得，

整理得代入④式得，又，或，

的取值范圍是.

考點：1.直線與橢圓的位置關(guān)系；2.韋達定理

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為
1
2
且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．M為橢圓上的動點，以M為圓心，MF2為半徑作圓M．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若圓M與y軸有兩個交點，求點M橫坐標的取值范圍；
（3）是否存在定圓N，使得圓N與圓M相切？若存在．求出圓N的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的左、右焦點分別為，其右準線上上存在點（點在 軸上方），使為等腰三角形．

⑴求離心率的范圍；

    ⑵若橢圓上的點到兩焦點的距離之和為，求的內(nèi)切圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年山東省高三下學期假期檢測考試理科數(shù)學試卷 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為，， 點是橢圓的一個頂點，△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點分別作直線，交橢圓于，兩點，設(shè)兩直線的斜率分別為，，且，證明：直線過定點（）．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年福建省三明市高三上學期三校聯(lián)考數(shù)學理卷 題型：解答題

（本題滿分14分）     已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，其中

F2也是拋物線的焦點，M是C1與C2在第一象限的交點，且  

（I）求橢圓C1的方程；   （II）已知菱形ABCD的頂點A、C在橢圓C1上，頂點B、D在直線上，求直線AC的方程。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年云南省德宏州高三高考復習數(shù)學試卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率，右準線方程為．

（I）求橢圓的標準方程；

（II）過點的直線與該橢圓交于M、N兩點，且，求直線的方程．

 

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