Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一點．
（1）求證：平面EBD⊥平面SAC；
（2）當的值為多少時，二面角B-SC-D的大小為120°．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證平面EBD⊥平面SAC，只需證BD⊥面SAC，利用線面垂直的判定定理可證得；
（2）作BM⊥SC于M，連接DM，可證得∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，利用余弦定理建立等量關系求解即可．
解答：解：證明（1）∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵SA⊥底面ABCD，BD?面ABCD，∴SA⊥BD，
∵SA∩AC=A，∴BD⊥面SAC，
又∵BD⊥平面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC；
（ 2 ）作BM⊥SC于M，連接DM，

∵SA⊥底面ABCD，AB=AD，∴SB=SD，
又∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CB⊥SB，CD⊥SD，
∴△SBC≌△SDC，∴DM⊥SC，
∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，BM=DM．
要使∠BMD=120°，只須=cos120°，
即BM²=BD²，而BD²=2AB²，∴BM²=AB²，
∵BM×SC=SB×BC，SC²=SB²+BC²，
∴BM²×SC²=SB²×BC²，
∴AB²（SB²+BC²）=SB²×BC²，
∵AB=BC，
∴2SB²+2AB²=3SB²，∴SB²=2AB²，
又∵AB²=SB²-SA²，
∴AB²=SA²，∴=1，
故當=1時，二面角B-SC-D的大小為120°．
點評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．一般在證明面面垂直時，先證明線線垂直得到線面垂直，進而得面面垂直．