Question

12．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|lgx|，0＜x≤10\\-\frac{1}{2}x+6，x＞10\end{array}\right.$．
（1）畫出函數(shù)的大致圖象，指出其單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程f（x）=k（k為常數(shù)）有三個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍；
（3）若0＜a＜b＜10，且f（a）=f（b），求ab的值．

Answer 1

分析 （1）直接由分段函數(shù)作出函數(shù)的圖象，由圖象可得函數(shù)的單調(diào)期間；
（2）數(shù)形結(jié)合可得使方程f（x）=k（k為常數(shù)）有三個不相等的實數(shù)根的k的取值范圍；
（3）由題意可知，0＜a＜1＜b＜10，由f（a）=f（b）可得|lga|=|lgb|，得-lga=lgb，則ab=1．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|lgx|，0＜x≤10\\-\frac{1}{2}x+6，x＞10\end{array}\right.$的圖象如圖，
單調(diào)減區(qū)間為（0，1），（10，+∞）；單調(diào)增區(qū)間為[1，10]；

（2）由圖可知，若方程f（x）=k（k為常數(shù)）有三個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（0，1）；
（3）若0＜a＜b＜10，且f（a）=f（b），則0＜a＜1＜b＜10，
由f（a）=f（b），即|lga|=|lgb|，得-lga=lgb，∴l(xiāng)gab=0，則ab=1．

點評 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．