Question

函數(shù)f（x）=x²-2x+2在閉區(qū)間[a，a+1]（a∈R）的最大值記為g（a）．
（1）試寫出g（a）的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若g（a）≥5，求出a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）配方可得f（x）=（x-1）²+1，確定對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分類討論，即可求得g（a）的函數(shù)表達(dá)式；
（2）由（1）的分段函數(shù)，結(jié)合變量的范圍，即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=（x-1）²+1．
①當(dāng)a+1≤1，即a≤0時，g（a）=a²-2a+2；
②當(dāng)

a≤1＜a+1 a≤ 1 2

，即0＜a≤

1

2

時，g（a）=a²-2a+2；
③當(dāng)

a≤1＜a+1 a＞ 1 2

時，即

1

2

＜a≤1時，g（a）=a²+1；
④當(dāng)a＞1時，g（a）=a²+1．
綜上：g(a)=

a2-2a+2(a≤ 1 2 ) a2+1(a＞ 1 2 )

…（6分）
（2）當(dāng)a²-2a+2≥5，解得a≥3或a≤-1，
∵a≤

1

2

，∴a≤-1；
當(dāng)a²+1≥5，解得a≥2或a≤-2，
∵a＞

1

2

，∴a≥2．
綜上：a的取值范圍是a≤-1或a≥2． …（12分）

點評：本題考查利用配方法求函數(shù)的最值，考查分段函數(shù)，考查解不等式，利用對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分類討論是解題的關(guān)鍵．