過(guò)P（2，1）作直線L與x軸正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)∠BAO=2α（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)△AOB的周長(zhǎng)最小時(shí)，cotα=________．

3
分析：先用2α的三角函數(shù)表示△AOB的周長(zhǎng)，進(jìn)而導(dǎo)數(shù)求最值，從而得解．
解答：由題意，△AOB的周長(zhǎng)可表示為
令tan2α=t，則周長(zhǎng)為y=

令y′=0，可得
∵函數(shù)在區(qū)間（0，）上單調(diào)減，在（，+∞）上單調(diào)增，
∴函數(shù)在時(shí)，取得極小值，且為最小值．
∴當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)最小
∴
∴
∴cotα=3
故答案為：3
點(diǎn)評(píng)：本題以直線為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，計(jì)算要細(xì)心．
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（1）當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程；
（2）當(dāng)|PA|•|PB|取最小值時(shí)，求直線l的方程．

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3
3
．

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