Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C：-=1（a，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，B是虛軸的端點(diǎn)，直線F₁B與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與x軸交與點(diǎn)M，若|MF₂|=|F₁F₂|，則C的離心率是    ．

Answer 1

【答案】分析：依題意可求得直線F₁B的方程，與雙曲線C的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可求得PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得線段PQ的垂直平分線的方程，繼而可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求得C的離心率．
解答：解：依題意F₁（-c，0），B（0，b），
∴直線F₁B的方程為：y-b=x，與雙曲線C的方程聯(lián)立得：b²x²-a²=0，
整理得：x²-x-a²b²=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁，x₂為上面方程的兩根，由韋達(dá)定理得：x₁+x₂=，y₁+y₂=（x₁+x₂）+2b=，
∴PQ的中點(diǎn)N（，），又直線MN的斜率k=-（與直線F₁B垂直），
∴直線MN的方程為：y-=-（x-），令y=0得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=c+=．
∵|MF₂|=|F₁F₂|，
∴-c=2c．
∴c²=3b²=3（c²-a²），
∴c²=a²，
∴e==．
故答案為：．
點(diǎn)評：本題考查直線與雙曲線相交，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查綜合分析與計(jì)算能力，屬于難題．