Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

x+2

+lg

1-x

1+x

（1）求f（x）的定義域．
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并證明．
（3）解關(guān)于x的不等式f[x(x-

1

2

)]＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)解析式中分母不等于0，且真數(shù)大于0，求出f（x）的定義域；
（2）利用f（x）的導(dǎo)數(shù)判定并證明f（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)；
（3）根據(jù)f（0）=

1

2

，把不等式f[x(x-

1

2

)]＜

1

2

化為f[x（x-

1

2

）]＜f（0）；由f（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)，可以求出不等式的解集．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

1

x+2

+lg

1-x

1+x

，
∴

x+2≠0 1-x 1+x ＞0

，
解得-1＜x＜1，
∴f（x）的定義域是（-1，1）；
（2）函數(shù)f（x）在定義域（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，證明如下；
∵函數(shù)f(x)=

1

x+2

+lg

1-x

1+x

，
∴f′（x）=-

1

(x+2)2

+

1

ln10

•

1+x

1-x

•

-(1+x)-(1-x)

(1+x)2

=-

1

(x+2)2

-

1

ln10

•

2

1-x2

∵x∈（-1，1），
∴f′（x）＜0∴f（x）是減函數(shù)；
（3）∵函數(shù)f(x)=

1

x+2

+lg

1-x

1+x

，
∴f（0）=

1

2

；
∴不等式f[x(x-

1

2

)]＜

1

2

可化為f[x（x-

1

2

）]＜f（0）；
又∵f（x）在定義域（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，
∴

-1＜x(x- 1 2 )＜1 x(x- 1 2 )＞0

，
解得

1- 17

4

＜x＜0，或

1

2

＜x＜

1+ 17

4

；
∴不等式的解集為(

1- 17

4

，0)∪(

1

2

，

1+ 17

4

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的定義域以及判定函數(shù)的單調(diào)性和利用單調(diào)性解不等式的問(wèn)題，是綜合題目．