Question

如果一個(gè)凸多面體是n棱錐，那么這個(gè)凸多面體的所有頂點(diǎn)所確定的直線共有

 

條，這些直線中共有f（n）對(duì)異面直線，則f（4）=

 

；f（n）=

 

．（答案用數(shù)字或n的解析式表示）

Answer 1

分析：本題主要考查合情推理，以及經(jīng)歷試值、猜想、驗(yàn)證的推理能力．凸多面體是n棱錐，共有n+1個(gè)頂點(diǎn)，過(guò)頂點(diǎn)與底邊上每個(gè)頂點(diǎn)都可確定一條側(cè)棱所在的直線，過(guò)底面上任一點(diǎn)與底面上其它點(diǎn)均可確定一條直線（邊或?qū)�角線），綜合起來(lái)不難得到第一空的答案，因?yàn)榈酌嫔纤�有的直線均共面，故每條側(cè)棱與不過(guò)該頂點(diǎn)的其它直線都是異面直線．

解答：解：凸多面體是n棱錐，共有n+1個(gè)頂點(diǎn)，
所以可以分為兩類：側(cè)棱共有n條，
底面上的直線（包括底面的邊和對(duì)角線）

n(n-1)

2

條
兩類合起來(lái)共有

n(n+1)

2

條．
在這些直線中，每條側(cè)棱與底面上不過(guò)此側(cè)棱的端點(diǎn)直線異面，
底面上共有直線（包括底面的邊和對(duì)角線）

n(n-1)

2

條，其中不過(guò)某個(gè)頂點(diǎn)的有

(n-2)•(n-1)

2

=

n2-3n+2

2

條
所以，f（n）=

n(n2-3n+2)

2

，f（4）=12．
故答案為：

n(n+1)

2

，12，

n(n2-3n+2)

2

．

點(diǎn)評(píng)：一題多空是高考數(shù)學(xué)卷中填空題的一種新形式，結(jié)合合情推理出現(xiàn)一題多空，較好地再現(xiàn)了推理的過(guò)程．三空的問(wèn)題環(huán)環(huán)相扣，難易程度十分合理，前兩空簡(jiǎn)單易求，第三空難度有所增加，需要學(xué)生具備較高層次的數(shù)學(xué)思維能力．本題以組合計(jì)算為工具，考查了類比與歸納、探索與研究的創(chuàng)新能力．