Question

（2012•海淀區(qū)二模）某同學(xué)為研究函數(shù)f(x)=

1+x2

+

1+(1-x)2

(0≤x≤1)的性質(zhì)，構(gòu)造了如圖所示的兩個(gè)邊長為1的正方形ABCD和BEFC，點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)CP=x，則AP+PF=f（x）．請(qǐng)你參考這些信息，推知函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸是

x=

1

2

；函數(shù)g（x）=4f（x）-9的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

2

．

Answer 1

分析：從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看，當(dāng)點(diǎn)P從C點(diǎn)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，在運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)之前，PA+PF的值漸漸變小，過了中點(diǎn)之后又漸漸變大，可得函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸；函數(shù)g（x）=4f（x）-9的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是f（x）=

9

4

的解的個(gè)數(shù)．

解答：解：由題意可得函數(shù)f（x）=AP+PF，從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看，當(dāng)點(diǎn)P從C點(diǎn)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，在運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)之前，PA+PF的值漸漸變小，過了中點(diǎn)之后又漸漸變大，
∵當(dāng)點(diǎn)P在BC的中點(diǎn)上時(shí)，即A、B、P三點(diǎn)共線時(shí)，即P在矩形ADFE的對(duì)角線AF上時(shí)，PA+PF取得最小值；當(dāng)P在點(diǎn)B或點(diǎn)C時(shí)，PA+PF取得最大值
∴函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸是x=

1

2

；
g（x）=4f（x）-9=0，即 f（x）=

9

4

．故函數(shù)g（x）=4f（x）-9的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是f（x）=

9

4

的解的個(gè)數(shù)．
而由題意可得 f（x）=

9

4

的解有2個(gè)，
故答案為：x=

1

2

；2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．