Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過F₁的直線l與C的左、右分支分別交于A，B兩點．若AB：BF₂：AF₂=3：4：5，則雙曲線的離心率為________．

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線的定義可求得a=1，∠ABF₂=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F₁F₂|，從而可求得雙曲線的離心率．
解答：∵|AB|：|BF₂|：|AF₂|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF₂|=4，|AF₂|=5，
∵|AB|²+|BF2|2=|AF2|2，∴∠ABF₂=90°，
又由雙曲線的定義得：|BF₁|-|BF₂|=2a，|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₁|+3-4=5-|AF₁|，∴|AF₁|=3．
∴|BF₁|-|BF₂|=3+3-4=2a，∴a=1．
在Rt△BF₁F₂中，|F₁F₂|²=|BF₁|²+|BF₂|²=6²+4²=52，
又|F₁F₂|²=4c²，∴4c²=52，
∴c=，
∴雙曲線的離心率e==．
點評：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力，求得a與c的值是關(guān)鍵，屬于中檔題．