Question

已知函數(shù)，其中a，b∈R．
（Ⅰ），求f（x）的值域；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若對于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為f（x）=x++1
根據(jù)特殊函數(shù)y=+x的單調(diào)性得：函數(shù)在[，1]上遞減，在[1，2]上遞增；
而 f（1）=3，f（）=f（2）=
所以：f（x）∈[3，]，
（Ⅱ）解：．
當(dāng)a≤0時，顯然f'（x）＞0（x≠0）．這時f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上內(nèi)是增函數(shù)．
當(dāng)a＞0時，令f'（x）=0，解得．
當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x
f'（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

所以f（x）在，內(nèi)是增函數(shù)，在，（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值為與f（1）的較大者，
對于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，對任意的成立．
從而得，所以滿足條件的b的取值范圍是．
分析：（Ⅰ）直接根據(jù)特殊函數(shù)y=+x的單調(diào)性得到所求函數(shù)在[1，2]上的增減性，即可求出其值域；
（Ⅱ）先求出其導(dǎo)函數(shù)，討論a和0的大小關(guān)系，找到導(dǎo)函數(shù)值為正和為負(fù)對應(yīng)的區(qū)間，即可得到其單調(diào)性；
（Ⅲ）先由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值為與f（1）的較大者，問題轉(zhuǎn)化為f（x）在上的最大值小于等于10恒成立；讓與f（1）都小于等于10即可求出b的取值范圍．
點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及恒成立問題．考查計算能力和分析問題的能力以及分類討論思想的應(yīng)用．